Options

期权（Option） 是一种衍生金融工具，它赋予持有人在未来某个时间点（到期日）以特定价格（执行价 K）买入或卖出某种资产（例如股票）的权利，但不是义务。

换句话说：

• 买方（持有人） 有权选择是否行权；
• 卖方（发行者） 有义务在买方行权时履约。

两种基本类型

类型	权利	当标的上涨时	当标的下跌时	示例
Call（看涨期权）	以执行价 买入 标的资产	赚钱（因为可以买得更便宜）	亏钱	ASML_202512_100C
Put（看跌期权）	以执行价 卖出 标的资产	亏钱	赚钱（可以高价卖出）	ASML_202510_80P

期权价格（Premium）

期权的交易价格称为 权利金（Premium），反映市场对未来价格波动的预期。

它由两部分组成：

1. 内在价值（Intrinsic Value）
2. 对买方立即行权能得到的收益
3. Call：max(0, S − K)
4. Put：max(0, K − S)
5. 时间价值（Time Value）
6. 由于未来价格有不确定性，买方愿意支付额外溢价

期权定价模型：Black–Scholes 公式

理论上，期权价格与以下因素有关：

• S：标的股票当前价格
• K：执行价
• τ：到期时间（年）
• σ：波动率（越高期权越贵）
• r：无风险利率

公式： $$ C = S N(d_1) - K e^{-rτ} N(d_2) $$ 其中： $$ d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \frac{σ^2}{2})τ}{σ\sqrt{τ}}, \quad d_2 = d_1 - σ\sqrt{τ} $$ 它回答的问题是：

💡“如果股票价格是随机变化的，那么一个买未来买卖权利（期权）的合理价格是多少？”

模型的基本假设

为了能推导出公式，模型做了几个理想化的假设：

1. 股票价格服从几何布朗运动（GBM）： $$ dS = μSdt + σSdz $$

2. 股票价格随时间连续变化；

3. \(μ\)：平均收益率；
4. \(σ\)：波动率（价格的标准差）；

5. \(dz\)：随机噪声。

6. 市场无套利（No-Arbitrage） 没有无风险获利的可能性。

7. 无交易成本、无股息、可连续对冲。

8. 无风险利率 \(r\) 恒定

几何布朗运动

\[ dS = μSdt + σSdz \]

这是一种数学模型，用来表示股票价格随时间的随机变化规律。意思是说：

股票价格 \(S\) 的变化量 \(dS\)，由两个部分组成： 1️⃣ 一个确定性的“趋势”部分（平均增长） 2️⃣ 一个随机的“波动”部分（不确定性）

每个符号代表什么

符号	含义	解释
\(S\)	股票价格	我们要建模的对象
\(dS\)	价格在极短时间内的变化量	“涨多少或跌多少”
\(μ\)	漂移率（drift）	股票的平均增长率（期望回报）
\(σ\)	波动率（volatility）	股票价格的不确定性，越大越“跳动”
\(dt\)	时间微小增量	很短的一小段时间
\(dz\)	布朗运动增量（Brownian motion increment）	随机波动项，服从 \(dz \sim N(0, dt)\)，平均为0、方差为dt

Ito’s Lemma（伊藤引理）公式

设股票价格 \(S_t\) 满足： $$ dS_t = μS_tdt + σS_tdz $$ 则任何关于 \(S_t, t\) 的函数 \(V(S_t,t)\) 的微分为： $$ dV = \frac{\partial V}{\partial t} dt + \frac{\partial V}{\partial S} dS + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} (dS)^2 $$

• 随机微积分里 (dz)² ≠ 0

在普通微积分中： $$ (dx)^2 \approx 0 $$ 因为 dx 很小。

但在随机微积分中，布朗运动有特殊性质： $$ (dz)^2 = dt $$ 这意味着随机项会对结果产生额外的 二阶影响项。