Options
期权（Option） 是一种衍生金融工具，它赋予持有人在未来某个时间点（到期日）以特定价格（执行价 K）买入或卖出某种资产（例如股票）的权利，但不是义务。
换句话说：
- 买方（持有人） 有权选择是否行权；
- 卖方（发行者） 有义务在买方行权时履约。
两种基本类型
| 类型 | 权利 | 当标的上涨时 | 当标的下跌时 | 示例 |
|---|---|---|---|---|
| Call（看涨期权） | 以执行价 买入 标的资产 | 赚钱（因为可以买得更便宜） | 亏钱 | ASML_202512_100C |
| Put（看跌期权） | 以执行价 卖出 标的资产 | 亏钱 | 赚钱（可以高价卖出） | ASML_202510_80P |
期权价格（Premium）
期权的交易价格称为 权利金（Premium），反映市场对未来价格波动的预期。
它由两部分组成：
- 内在价值（Intrinsic Value）
- 对买方立即行权能得到的收益
- Call：max(0, S − K)
- Put：max(0, K − S)
- 时间价值（Time Value）
- 由于未来价格有不确定性，买方愿意支付额外溢价
期权定价模型：Black–Scholes 公式
理论上，期权价格与以下因素有关：
- S：标的股票当前价格
- K：执行价
- τ：到期时间（年）
- σ：波动率（越高期权越贵）
- r：无风险利率
公式： $$ C = S N(d_1) - K e^{-rτ} N(d_2) $$ 其中： $$ d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \frac{σ^2}{2})τ}{σ\sqrt{τ}}, \quad d_2 = d_1 - σ\sqrt{τ} $$ 它回答的问题是：
💡“如果股票价格是随机变化的，那么一个买未来买卖权利（期权）的合理价格是多少？”
模型的基本假设
为了能推导出公式，模型做了几个理想化的假设：
-
股票价格服从几何布朗运动（GBM）： $$ dS = μSdt + σSdz $$
-
股票价格随时间连续变化；
- \(μ\)：平均收益率；
- \(σ\)：波动率（价格的标准差）；
-
\(dz\)：随机噪声。
-
市场无套利（No-Arbitrage） 没有无风险获利的可能性。
-
无交易成本、无股息、可连续对冲。
-
无风险利率 \(r\) 恒定
几何布朗运动
\[
dS = μSdt + σSdz
\]
这是一种数学模型，用来表示股票价格随时间的随机变化规律。意思是说：
股票价格 \(S\) 的变化量 \(dS\)，由两个部分组成： 1️⃣ 一个确定性的“趋势”部分（平均增长） 2️⃣ 一个随机的“波动”部分（不确定性）
每个符号代表什么
| 符号 | 含义 | 解释 |
|---|---|---|
| \(S\) | 股票价格 | 我们要建模的对象 |
| \(dS\) | 价格在极短时间内的变化量 | “涨多少或跌多少” |
| \(μ\) | 漂移率（drift） | 股票的平均增长率（期望回报） |
| \(σ\) | 波动率（volatility） | 股票价格的不确定性，越大越“跳动” |
| \(dt\) | 时间微小增量 | 很短的一小段时间 |
| \(dz\) | 布朗运动增量（Brownian motion increment） | 随机波动项，服从 \(dz \sim N(0, dt)\)，平均为0、方差为dt |